정의, Linear system, Linear combination, vector equation 등

정의

• scalar: a single number
• vector: an ordered list of numbers
• Matrix: two-dimensional array of numbers
  • row vector, column vector
• Matrix notations
  • Square matrix (#rows = #columns)
    • $A\in R^{n\times n}$
  • Transpose of matrix
    • $A^T$
• Vector / Matrix Additions and Multiplications

• A = np.array([[1, 2], [3, 4]])
  B = np.array([[5, 6], [7, 8]])
  A*B # elementwise product
  '''
  array([[ 5, 12],
         [21, 32]])
  '''
  
  A@B # matrix product
  '''
  array([[19, 22],
         [43, 50]])
  '''
  
  import sympy as sy
  
  A = sy.Matrix([[3, 4], [7, 8]])
  B = sy.Matrix([[5, 3], [2, 1]])
  
  A@B
  '''
  23 13
  51 29
  '''
  
  B@A
  '''
  36 44
  13 16
  '''

• elementwise product
• Matrix Multiplication is not Commutative
• 만족하는 특성
  • Distributive: $A(B+C) = AB + AC$
  • Associative: $A(BC) = (AB)C$
  • Property of transppose: $(AB)^T = B^T A^T$

# 벡터 곱은 교환법칙이 성립
# 계산에 사용할 기호(symbol)들을 아래와 같이 선언합니다.
x1, x2, y1, y2 = sy.symbols('x1, x2, y1, y2', real = True)

# 위에서 선언한 기호를 활용하여, np.array와 유사한 방식으로 벡터를 선업합니다.
x = sy.Matrix([x1, x2])
y = sy.Matrix([y1, y2])

x.T@y
'''
[x1y1, x2y2]
'''

y.T@x
[x1y1, x2y2]

Linear System

n개의 linear equation(일차 방정식)들의 collection을 뜻함. 동일한 n개의 variable을 가진 m개의 일차 방정식들을 표현 가능함

Linear Equation(연립 방정식, 선형 방정식)

• $a_1x_1 + a_2x_2+\cdots +a_nx_n = b$
  • $a_1, \cdots a_n$: coefficients

Identity Matrix(항등행렬)

• nxn matrix에서 대각행렬이 1이고 나머지는 0인 행렬

Inverse Matrix

• $A^{-1}$

Linear combination, vector equation, Four view of matrix multiplication

Linear combination

• $c_1v_1 + \cdots c_pv_p$
• linear combination of $v_1,\cdots,v_p$ with weights or coefficients $c_1,\cdots,\c_p$

Vector Equation

• Span
  • Given a set of vetcors $v_1,\cdots,v_p \in R^n $. Span{$v_1,\cdots,v_p$} is defined as the set of all linear combinations of $v_1,\cdots,v_p$
  • 주어진 벡터들의 조합으로 나올 수 있는 벡터들의 모든 후보
• Geometric Interpretation of Vector Equation
  • $a_1x_1 + a_2x_2+a_3x_3 = b$ 에서 $b \in Span\{a_1, a_2, a_3\}$일 때
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