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Advanced Eigendecomposition 본문
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SVD -> rectangular matrix
EVD -> square & symmetric matrix
Symmetric matrix
- 특징
- AT=A인 행렬
- ATA=AAT
- B=ATA일 때, B=BT이 성립한다.
- 정사각행렬이어야 함
- Theorem: if A is symmetric, then any two eigenvectors from different eigenspaces are orthogonal
- 예시) [2653]일 때, Av=λv을 만족
- 계산하면 λ=8or−3
- λ=8일 때, [−665−5]v=[00]이기 때문에 eigen vector v=[1,1]T이다.
- λ=−3일 때, [5656]v=[00]이기 때문에 eigen vector v=[1,−5/6]T이다.
- A의 결과 (λ−5)2(\lmabda+3)(λ−1)2일 경우, 생긴 eigenvector들은 linearly independent
- λ1와 λ2의 두 eigenvalue에 의한 eigenvector는 LInearly indepdendent하다는 특징을 가지고 있다.
- Orthogonal한 set는 lineraly independent하다는 특징을 가지고 있음
- 예시) [2653]일 때, Av=λv을 만족
Algebraic multiplicity
- EigenDecomposition 식: A=VDV−1
- [2653]일 때, A=VDV−1=VDVT (VT=V−1
- A가n×n 행렬일 때, n개의 LINEARLY indepdent eigenvector가 있다고 할때, det(A=λI)=0은 n차 방정식을 가진다.
- 예) (x−1)2(x+5)일 경우 계수를 Algebraic Multiplicity(대수적 중복도)를 나타낸다.
- Aalgebraic Multiplicty는 중근의 개수를 의미하는 듯
λ | 1 | -5 | Total |
Algebraic Multiplicity | 2 | 1 | 3 |
Geometric Matrix | 1<=x<=2 -> 2 or 1 |
1<=x<=1 -> 1 |
3 |
Geometric multiplicity
- 기하학적 중복도
- 고유 공간의 차원
- linearly independent한 벡터의 수이라고 이해하면 될듯
Symmetric matrix
- orthognonally diagonalizable하다. (eigen decomposition가 존재한다.)
- B−1AB=Y의 A에서의 Y변환: similarity transformation 되면 A가 diagonalizable하다.
Spectral decomposition
- Symmetric matrix의 eigen decomposition
- A=PDPT 가중합으로 표시 가능
- d1u1uT1+d2u2uT2+d3u3uT3
Spectral theorem
- n×n symmetric matrix A이면 허근이 나오지 않는다.
- eigenspace의 dimension(Geometric Multiplicity)는 각 eigen value의 multiplicty(algebraic multiplicity)와 항상 동일하다.
- eigen spaces가 mutually orthogonal하다.
- orthogonally diagonalizable하다.
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