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Advanced Eigendecomposition 본문

goorm 수업 정리/linear algebra

Advanced Eigendecomposition

yuuuun 2021. 8. 18. 11:53
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SVD -> rectangular matrix

EVD -> square & symmetric matrix

Symmetric matrix

  • 특징
    • AT=A인 행렬
    • ATA=AAT
    • B=ATA일 때, B=BT이 성립한다.
    • 정사각행렬이어야 함
  • Theorem: if A is symmetric, then any two eigenvectors from different eigenspaces are orthogonal
    • 예시) [2653]일 때, Av=λv을 만족
      • 계산하면 λ=8or3
      • λ=8일 때, [6655]v=[00]이기 때문에 eigen vector v=[1,1]T이다.
      • λ=3일 때, [5656]v=[00]이기 때문에 eigen vector v=[1,5/6]T이다.
    • A의 결과 (λ5)2(\lmabda+3)(λ1)2일 경우, 생긴 eigenvector들은 linearly independent
    • λ1λ2의 두 eigenvalue에 의한 eigenvector는 LInearly indepdendent하다는 특징을 가지고 있다.
    •  Orthogonal한 set는 lineraly independent하다는 특징을 가지고 있음

Algebraic multiplicity

  • EigenDecomposition 식: A=VDV1
  • [2653]일 때, A=VDV1=VDVT (VT=V1
  • An×n 행렬일 때, n개의 LINEARLY indepdent eigenvector가 있다고 할때, det(A=λI)=0은 n차 방정식을 가진다.
  • 예) (x1)2(x+5)일 경우 계수를 Algebraic Multiplicity(대수적 중복도)를 나타낸다.
    • Aalgebraic Multiplicty는 중근의 개수를 의미하는 듯
λ 1 -5 Total
Algebraic Multiplicity 2 1 3
Geometric Matrix 1<=x<=2
-> 2 or 1
1<=x<=1
-> 1
3

Geometric multiplicity

  • 기하학적 중복도
  • 고유 공간의 차원
  • linearly independent한 벡터의 수이라고 이해하면 될듯

Symmetric matrix

  • orthognonally diagonalizable하다. (eigen decomposition가 존재한다.)
  • B1AB=Y의 A에서의 Y변환: similarity transformation 되면 A가 diagonalizable하다.

Spectral decomposition

  • Symmetric matrix의 eigen decomposition
  • A=PDPT 가중합으로 표시 가능
  • d1u1uT1+d2u2uT2+d3u3uT3

Spectral theorem

  • n×n symmetric matrix A이면 허근이 나오지 않는다.
  • eigenspace의 dimension(Geometric Multiplicity)는 각 eigen value의 multiplicty(algebraic multiplicity)와 항상 동일하다.
  • eigen spaces가 mutually orthogonal하다.
  • orthogonally diagonalizable하다.
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